寒假期间开始做环论口头汇报视频。说来惭愧，我讲之前其实没想过流程怎么设计，基本上是先开始讲再调整和计划后面的，最后做出来这个样子：

环的概念引入

素元与不可约元

(资料图片)

多项式环

欧几里得整环

唯一分解整环

分式环与局部化

整体的主线是“整数环是环的原型（prototype），是性质非常良好的环，我们想方设法把整数环的性质推广到更一般的环”。我在第一次视频就引入这个想法，一开始就说了整数环是整环，ED，PID，UFD，不过当然是不严格地介绍一下，然后慢慢补完严格定义。比方说，先讲素元与不可约元，就说是为了推广素数。后面边讲别的概念，边强调这是如何推广整数环而得到的。

但是有一个问题，就是多项式环放在这里太尴尬了，之所以这样突然插入，是因为讲了素元与不可约元以后，发现需要多项式环的严格定义来方便举例子。我认为我这样子有点“意识流”，想啥讲啥，缺乏计划和思想，不是好的做法。这是我非常反对的做法，自己却做出来了，非常惭愧。

我第一次学环论，用的教材是Hungerford，这是我非常喜爱的抽象代数课本。

这里插播一下Hungerford《代数学》（GTM73）的小广告。此书极度讲究编排的逻辑性和系统性，每一章都有思维导图来指导不同需求的读者怎么看下去。内文对一般化和形式化的追求可谓极致，例如环论章节里有一段时间甚至不默认带幺和交换（对比Artin几乎默认了交换幺环）；定义都不会出现集合论问题（比如自由群的定义，谨慎地用了“与给定集合等势且不交的另一个集合”来构造），证明都是严格和形式化的（对比Ash的informal proof）。全书追求内容广度，从群环域模到线性代数到交换代数，像是百科全书一般。但是个人认为，这书的范畴论我是真看不懂（我水平低没办法），环论有些地方反而是Ash讲得清楚。另外，这样追求一般化和形式化到底好不好，也是见仁见智的，我个人挺喜欢，不过我有一个朋友认为这样容易导致学生忽略主线、最后感觉啥都没学会。咳咳咳我废话太多了

Hungerford讲环论的计划是这样子的：

The first two sections deal with rings, homomorphisms and ideals. Much (but not all) of this material is simply a straightforward generalization to rings of concepts which have proven useful in group theory. Sections 3 and 4 are concerned with commutative rings that resemble the ring of integers in various ways. Divisibility, factorization, Euclidean rings, principal ideal domains, and unique factorization are studied in Section 3. In Section 4 the familiar construction of the field of rational numbers from the ring of integers is generalized and rings of quotients of an arbitrary commutative ring are considered in some detail. In the last two sections the ring of polynomials in n indeterminates over a ring R is studied. In particular, the concepts of Section 3 are studied in the context of polynomial rings (Section 6).

https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-6101-8_4

Hungerford他书上原话没讲“整数环是环的原型”（应该是吧，记错的话当我没说），是我看书的时候自己越来越有这种感觉，然后就一直这样理解了，希望没有理解错误。这样看来，我讲的顺序跟Hungerford是差不多的，但是他把多项式环放在后面，而且讲完多项式环就讲多项式理论。反观我这里，似乎是讲着讲着发现要举例就突然插入多项式环，讲完了又回到别的内容，这样就很奇怪emmmm。

说起抽代教材，另一本我非常喜爱的教材是李文威先生的《代数学方法》。

这里插播一下《代数学方法》的小广告。书上先讲集合论，再讲范畴论，然后才来群环域，目标是给已经学过一遍抽代的学习者拓展用的，提高观点，不过需要有前辈从旁指导（可能是我水平太低才有这个需要？）。李先生在个人网站上公布了此书的pdf版本，欢迎自行下载，建议条件许可的同学再购买纸质书，更提出希望更多作者和出版社仿效。李先生对待著作的态度可谓高风亮节，比起美国出版商霸道的所为，更是对比鲜明！李先生还真的会即日回读者邮件，让读者给挑错，是很认真的作者。网址：https://www.wwli.asia/index.php/zh/books-item-zh

《代数学方法》讲环论的内容编排是这样子的，我自己没怎么看这一章，只是大概翻过几下，愣是没看明白为什么要这样编排emmmm，有没有什么主线吗？不知道看过这书的前辈是怎么理解它的内容编排的。

不知道前辈们都是看什么教材学的环论？当初学的时候又是用什么顺序呢，更倾向于把多项式环放在环论学习进度条的哪个位置？